Cara Menyederhanakan Bentuk Akar

Bentuk akar merupakan akar pangkat suatu bilangan yang tidak memenuhi √a² = a, di mana a merupakan bilangan real positif. Akan tetapi bentuk akar dapat disederhanakan lagi menjadi perkalian dua buah akar pangkat bilangan, dengan syarat salah satu akar pangkat bilangan tersebut harus memenuhi √a² = a, di mana a merupakan bilangan real positif.

Untuk lebih memudahkan Anda untuk memahami tentang cara menyederhanakan bentuk akar, silahkan simak dan pelajari contoh soa di bawah ini.

√12 = √(4 × 3) = √4 × √3 = 2√3

√50 = √(25 × 2) = √25 × √2 = 5√2

√72 = √(36 × 2) = √36 × √2 = 6√2

√108 = √(36 × 3) = √36 × √3 = 6√3

Berdasarkan contoh di atas maka untuk menyederhanakan bentuk akar harus memenuhi sifat:

√ab = √a × √b

dengan a dan b adalah bilangan rasional positif. 

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang cara menyederhanakan bentuk akar, silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Sederhanakan bentuk-bentuk akar berikut.

a. √12

b. √20

c. √27

d. √54

e. √75

f. √80

g. √245

Penyelesaian:

a. √12 = √(4 × 3) = √4 × √3 = 2√3

b. √20 = √(4 × 5) = √4 × √5 = 2√5

c. √27 = √(9 × 3) = √9 × √3 = 3√3

d. √54 = √(9 × 6) = √9 × √6 = 3√6

e. √75 = √(25 × 3) = √25 × √3 = 5√3

f. √80 = √(16 × 5) = √16 × √5 = 4√5

g. √245 = √(49 × 5) = √49 × √5 = 7√5

Sekarang coba pelajari contoh soal di bawah ini.

√(4/6) = √4/√6 = 2/√6

√(25/36) = √25/√36 = 5/6

√(5/9) = √5/√9 = √5/3

Berdasarkan contoh di atas maka untuk menyederhanakan bentuk akar harus memenuhi sifat:

√(a/b) = √a/√b

dengan a dan b adalah bilangan rasional positif.

Contoh Soal 2

Sederhanakan bentuk-bentuk akar berikut.

a. √(11/9)

b. √(7/3)

c. √(16/9)

d. √(10/3)

Penyelesaian:

a. √(11/9) = √11/√9 = √11/3

b. √(7/3) = √7/√3

c. √(16/9) = √16/√9 = 4/3

d. √(10/3) = √10/√3

Unsur-Unsur/Bagian-Bagian Lingkaran

Setiap bangun datar memiliki unsur-unsur yang membangunnya, termasuk bangun datar yang berbentuk lingkaran. Ada beberapa bagian lingkaran yang termasuk dalam unsur-unsur sebuah lingkaran di antaranya titik pusat, jari-jari, diameter, busur, tali busur, tembereng, juring, apotema, sudut pusat, dan sudut lingkaran. Untuk melihat gambarnya silahkan lihat gambar di bawah ini.

 

Untuk lebih jelasnya, perhatikan uraian berikut.

a. Titik Pusat

Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak tepat di tengah-tengah lingkaran. Pada Gambar di atas, titik O merupakan titik pusat lingkaran, dengan demikian, lingkaran tersebut dinamakan lingkaran O.

b. Jari-Jari (r)

Jari-jari lingkaran adalah garis dari titik pusat lingkaran ke lengkungan lingkaran (keliling lingkaran). Pada Gambar di atas, jari-jari lingkaran ditunjukkan oleh garis OA, OB, OC, dan OD.

c. Diameter (d)

Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran (keliling lingkaran) dan melalui titik pusat. Garis AB dan CD pada lingkaran O merupakan diameter lingkaran tersebut. Perhatikan bahwa AB = AO + OB. Dengan kata lain, nilai diameter lingkaran merupakan dua kali nilai jari-jari lingkaran, dapat ditulis secara matematis: d = 2r.

d. Busur

Busur lingkaran merupakan garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran (keliling lingkaran) dan menghubungkan dua titik sebarang di lengkungan tersebut. Pada Gambar di atas, garis lengkung AC, garis lengkung CB, dan garis lengkung BD merupakan busur lingkaran O. Untuk memudahkan mengingatnya Anda dapat membayangkannya sebagai busur panah.

e. Tali Busur

Tali busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran dan tidak melalui pusat lingkaran. Tali busur yang melalui pusat lingkaran dinamakan dengan diameter lingkaran. Tali busur lingkaran tersebut ditunjukkan oleh garis lurus AD yang tidak melalui titik pusat seperti pada gambar di atas. Untuk memudahkan mengingatnya Anda dapat membayangkan seperti pada tali busur panah. 

f. Tembereng

Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur. Pada Gambar di atas, tembereng ditunjukkan oleh daerah yang diarsir dan dibatasi oleh busur AD dan tali busur AD. Jadi tembereng terbentuk dari gabungan antara busur lingkaran dengan tali busur lingkaran.

g. Juring

Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari-jari lingkaran dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran tersebut. Pada Gambar di atas, juring lingkaran ditunjukkan oleh daerah yang diarsir yang dibatasi oleh jari-jari OC dan OB serta busur BC, dinamakan juring BOC.

h. Apotema

Apotema lingkaran merupakan garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut. Garis yang dibentuk bersifat tegak lurus dengan tali busur. Coba perhatikan Gambar di atas secara seksama. Garis OF merupakan garis apotema pada lingkaran O. 
 g. Sudut Pusat
 Coba perhatikan gambar di bawah dengan seksama!

 

Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh perpotongan antara dua buah jari-jari lingkaran di titik pusat. Pada gambar di atas Garis OA dan OB merupakan jari-jari lingkaran yang berpotongan di titik pusat O membentuk sudut pusat, yaitu ∠AOB.
 g. Sudut Keliling
 Coba perhatikan lagi gambar di bawah dengan seksama!

 

Sudut pusat merupakan sudut yang dibentuk oleh perpotongan antara dua buah tali busur di suatu titik pada keliling lingkaran. Pada gambar di atas garis AC dan BC merupakan tali busur yang berpotongan di titik C membentuk sudut keliling ∠ACB.

Bilangan Berpangkat Pecahan

Untuk menentukan bilangan berpangkat pecahan, Anda harus paham dengan konsep bilangan berpangkat bulat positif, bahwa bilangan berpangkat aⁿ didefinisikan sebagai perkalian berulang a sebanyak n faktor. Misalnya 4² = 4 × 4. Bagaimana kalau 4^1/2? Untuk memahami bilangan berpangkat pecahan, silahkan simak uraian berikut ini.

Misalkan kita ambil contoh 4^a = 2. Pernyataan tersebut menyatakan bahwa 4 dipangkatkan a hasilnya sama dengan 2. Berapakah nilai a?

=> 4^a = 2

=> (2²)^a = 2¹

=> 2^2a = 2¹

Ini berati 2a = 1 maka a = ½, sehingga 4^1/2 = 2. Oleh karena √4 = 2, maka √4 = 4^1/2 = 2. Bagaimana dengan 125^x = 5, berapakah nilai x?

Ini berati 3x = 1 maka x = 1/3, sehingga (125)^1/3 = 5. Oleh karena:

Berdasarkan uraian di atas maka definisi bilangan berpangkat pecahan, yaitu sebagai berikut.

dengan a ≥ 0 dan m, n bilangan bulat positif.

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang konsep bilangan berpangkat pecahan, silahkan simak contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Ubahlah bentuk pangkat pecahan berikut ke bentuk akar.

a. 6^1/2

b. 5^3/2

c. 11^7/2

Penyelesaian:

a. 6^1/2 = √6

b. 5^3/2 = √5³

c. 11^7/2 = √11⁷

Contoh Soal 2

Ubahkan bentuk akar berikut ke bentuk pangkat pecahan.

a. √6

b. √(25)⁴

c. √(27)³

Penyelesaian:

a. √6 = 6^1/2

b. √(25)⁴ = (25⁴)^1/2 = 25² = (5²)² = 5⁴

c. √(27)³ = (27³)^1/2 = 27^3/2 = (3³)^3/2 = 3^9/2

Contoh Soal 3

Sederhanakan bentuk-bentuk pecahan berikut.

a. 6^1/2 × 6^1/2

b. 5⁴ × 5^3/2

c. (8^1/2)^3/4

d. 6^5/2/6^3/2

e. (7^-5/2 × 7^-1/2)/7^-3

Penyelesaian:

a. 6^1/2 × 6^1/2 = 6^(1/2)+(1/2) = 6¹ = 6

b. 5^5/2 × 5^3/2 = 5^(5/2)+(3/2) = 5^8/2 = 5⁴

c. (8^5/2)^3/5 = 8^{(5/2 × 3/5)} = 8^15/10 = 8^3/2

d. 6^5/2/6^3/2 = 6^{(5/2 - 3/2)} = 8¹ = 8

e. (7^-5/2 × 7^-1/2)/7^-4 = 7^{-5/2 -1/2-(-4)} = 7^{-6/2 + 4} = 7

Demikian postingan Mafia Online tentang bilangan berpangkat pecahan dan contoh soalnya. Mohon maaf jika ada kata atau perhitungan yang salah dalam postingan di atas.

Operasi Pada Bentuk Akar

Operasi pada bentuk akar sangat penting untuk Anda pahami, karena operasi pada bentuk akar banyak diterapkan untuk menyelesaikan soal-soal bangun ruang tiga dimensi. Jenis-jenis operasi pada bentuk akar sama seperti yang ada operasi pada bilangan bulat maupun bilangan pecahan yang meliputi:

Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Operasi aljabar penjumlahan dan pengurangan bentuk akar sudah Mafia Online posting pada postingan yang berjudul “Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar”. Penjumlahan pada bentuk akar memiliki sifat sebagai berikut.

 

Sedangkan pengurangan bentuk akar memiliki sifat sebagai berikut.

Contoh Soal 1

Sederhanakan bentuk-bentuk berikut.

1). 4√3 + √3

2). 4√5 + 3√3

3). 4√2 – 2√2

4). 6√3 – 5√2

5). 10√7 + 3√7 – 4√7

6). 9√5 + 4√5 + 7√7 – 3√7

Penyelesaian:

1. 4√3 + √3 = (4 + 1)√3 = 5√5
2. 4√5 + 3√3 (Tidak dapat dijumlahkan karena tidak memenuhi sifat penjumlahan bentuk akar)
3. 4√2 – 2√2 = (4 – 2)√2
4. 6√3 – 5√2 (Tidak dapat dikurangkan karena tidak memenuhi sifat penjumlahan bentuk akar)
5. 10√7 + 3√7 – 4√7 = (10 + 3 – 7)√7 = 6√7
6. Untuk soal seperti ini kerjakan yang memenuhi sifat penjumlahan atau pengurangan, maka:
   => 9√5 + 4√5 + 7√7 – 3√7
   = (9 + 4)√5 + (7 – 3)√7
   = 13√5 + 4√7 (Tidak dapat dijumlahkan karena tidak memenuhi sifat penjumlahan bentuk akar)

Perkalian Bentuk Akar

Operasi aljabar perkalian bentuk akar sudah Mafia Online posting pada postingan yang berjudul “Operasi Perkalian Bentuk Akar”. Perkalian bentuk akar memiliki sifat sebagai berikut.

Contoh Soal 2

Sederhanakan bentuk-bentuk berikut.

1). 4√3 × √2

2). 4√5 × 3√3

3). (4√2 + 2√5)(4√2 – 2√5)

4). (2√3 + 5√2) × √2

5). (2√3 + 5√2)(2√3 + 5√2)

Penyelesaian:

1). 4√3 × √2

= (4 . 1)√(3 . 2)

= 4√6

2). 4√5 × 3√3

= (4 . 3)√(5 . 3)

= 12√15

3). (4√2 + 2√5)(4√2 – 2√5)

= 4√2. 4√2 – 4√2. 2√5 + 2√5. 4√2 – 2√5. 2√5

= 16√4 – 8√10 + 8√10 – 4√25

= 16.2 – 4.5

= 32 – 20

= 12

4). (2√3 + 5√2) × √2

= 2√3 . √2 + 5√2 . √2

= 2√6 + 5√4

= 2√6 + 5.2

= 2√6 + 10

5). (2√3 + 5√2)(2√3 + 5√2)

= 2√3 . 2√3 + 2√3 . 5√2 + 5√2 . 2√3 + 5√2 . 5√2

= 4√9 + 10√6 + 10√6 + 25√4

= 4 . 3 + 20√6 + 25 . 2

= 12 + 20√6 + 50

= 62 + 20√6

Pembagian Bentuk Akar

Operasi aljabar pembagian bentuk akar juga sudah Mafia Online posting pada postingan yang berjudul “Operasi Pembagian Bentuk Akar”. Pembagian bentuk akar memiliki sifat sebagai berikut.

Contoh Soal 3

Sederhanakan bentuk-bentuk berikut.

1). √18/√3

2). 4√15 × 2√3

Penyelesaian:

1). √18/√3 = √(18/3) = √6

2). 4√15 × 2√3 = (4/2)√(15/3) = 2√5